First Homology Group

释义 Definition

第一同调群：代数拓扑中的一个基本不变量，通常记作 (H_1(X))（或 (H_1(X;\mathbb{Z}))）。它用来刻画空间中一维“洞/环路”的整体结构：哪些闭合路径本质上不能收缩为一点，以及它们之间的代数关系。（在不同系数群下也可定义，如 (H_1(X;\mathbb{Z}_2)) 等。）

发音 Pronunciation (IPA)

/fɝːst həˈmɑːlədʒi ɡruːp/

例句 Examples

The first homology group of a circle is isomorphic to Z.
圆的第一同调群同构于整数群 Z。

Using the cellular chain complex, we compute the first homology group and conclude the space has two independent 1-dimensional holes.
利用胞腔链复形计算第一同调群，我们得出该空间有两个相互独立的一维“洞”。

词源 Etymology

homology 来自希腊语词根，含义与“相同、对应、符合”相关；在数学中引申为研究不同空间中“对应的结构”。group（群）是抽象代数的核心概念，用来描述可组合且满足一定运算规则的对象集合。合在一起，homology group 指“用群这种代数结构来编码空间的同调信息”。

相关词 Related Words

• Homology
• Cohomology
• Fundamental Group
• Cycle
• Boundary
• Chain Complex
• Betti Number
• Torus

文学与著作 Literary Works

• Algebraic Topology — Allen Hatcher（常用教材，系统使用 (H_1) 等同调群）
• A Basic Course in Algebraic Topology — William S. Massey（入门经典，频繁讨论第一同调群）
• Elements of Algebraic Topology — James R. Munkres（涵盖同调群的构造与计算）
• Algebraic Topology — Edwin H. Spanier（更全面深入的经典参考书）
• Differential Forms in Algebraic Topology — Raoul Bott & Loring W. Tu（在几何与拓扑语境中关联同调/上同调）